Question

已知函数f(x)=lnx+

a

x+1

(a∈R)．
（1）当a=

9

2

时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；
（3）求证：ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知 k大于f（x）的极大值，或 k小于f（x）的极小值．
（2）令h（x）=f（x）-1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h（1）=0，分x＞1、
0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论．
（3）根据（2）的结论，当x＞1时，lnx＞

x-1

x+1

，令x=

k+1

k

，有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，可得

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

2k+1

，由 ln(n+1)=

n

k=1

ln

k+1

k

，证得结论．

解答：解：（1）当a=

9

2

时，f(x)=lnx+

9

2(x+1)

，定义域是（0，+∞），
 求得f′(x)=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

(2x-1)(x-2)

2x(x+1)2

，令f'（x）=0，得x=

1

2

，或x=2．
∵当0＜x＜

1

2

或x＞2时，f'（x）＞0； 当

1

2

＜x＜2时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，

1

2

]、（2，+∞）上单调递增，在(

1

2

， 2)上单调递减．
∴f（x）的极大值是 f(

1

2

)=3-ln2，极小值是 f(2)=

3

2

+ln2．
∵当x趋于 0时，f（x）趋于-∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，
由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，
k的取值范围是{k|k＞3-ln2，或k＜

3

2

+ln2}．
（2）当a=2时，f(x)=lnx+

2

x+1

，定义域为（0，+∞）．
令h(x)=f(x)-1=lnx+

2

x+1

-1，∵h′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．  ①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；  ③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，lnx+

2

x+1

＞1，即lnx＞

x-1

x+1

．
令x=

k+1

k

，则有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，∴

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

2k+1

．
∵ln(n+1)=

n

k=1

ln

k+1

k

，∴ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

++

1

2n+1

．

点评：本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识，属于中档题．