Question

设数列{a_n}是等差数列，a₅=6，a₃=2时，若自然数k₁，k₂，…，k_n…（n∈N^*）满足5＜k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，使得a₃，a₅，ak1ak2，…akn，…成等比数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{k_n}的通项公式及其前n项的和．

Answer 1

（1）∵等差数列{a_n}中，a₅=6，a₃=2
∴{a_n}的公差d=

a5-a3

5-3

=

6-2

5-3

=2，可得a₁=a₃-2d=-2
因此，{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-3）×2=2n-4
（2）∵2，6，ak1，ak2，…akn，…成等比数列，
∴该数列的公比q=

6

2

=3，可得akn=2•3n+1，
又∵akn 是等差数列{a_n}中的第k_n项，∴ak n=2kn-4，
因此，2•3ⁿ⁺¹=2k_n-4，解之得kn=3n+1+2，
∴k₁+k₂+…k_n=（3²+2）+（3³+2）+（3⁴+2）+…+（3ⁿ⁺¹+2）
=（3²+3³+…3ⁿ⁺¹）+2n=

9

2

(3n-1)+2n．
即数列{k_n}的通项公式为：kn=3n+1+2，其前n项的和为

9

2

(3n-1)+2n．