Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是PA的中点，BD⊥CQ，PA=PC，PB=3，∠ABC=60°．
（1）求证：PC∥平面BDQ； 
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于点O，连接QO，利用三角形的中位线定理即可证得PC∥QO，进而证明PC∥平面BQD．
（2）利用已知条件先证明PO⊥底面ABCD，进而可求出体积．

解答：解：（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接QO，PO．
∵底面ABCD是菱形，∴OA=OC，
又∵PQ=QA，∴QO∥PC．
而PC?平面BQD，QO?平面BQD，
∴PC∥平面BQD．
（2）∵底面ABCD是菱形，
∴对角线BD⊥AC，
又已知BD⊥QC，BD∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，从而可得BD⊥PO．
∵PB=PC，OA=OC，∴PO⊥AC．
而BD∩AC=O，∴PO⊥底面ABCD．
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴BO=

3

．
在Rt△POB中，PO=

PB2-BO2

=

32-( 3 )2

=

6

．
可求S_菱形ABCD=2²×sin60°=2

3

．
∴V_{四棱锥P-ABCD}=

1

3

×2

3

×

6

=2

2

．

点评：本题考查了线面平行和线面垂直及体积，充分理解和运用其判定定理是解题的关键．