题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
．
（Ⅰ）过椭圆C的右焦点F且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦 长为1，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过椭圆C右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点P，且
PA
=λ1
AF
，
PB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．
分析：（Ⅰ）由题意得
2b2
a
=1
a2-b2
a2
=
3
4
.
解得
a=2
b=1.
，由此能得到所求的椭圆方程．
（Ⅱ）由
a2-b2
a2
=
3
4
，得a=2b，c=
3
b．设直线l方程为：y=k(x-
3
b)，A点坐标为（x1，y1），
B点坐标为（x2，y2），得P点坐标(0，-
3
kb)，F点坐标为(
3
b，0)，因为
PA
=λ1
AF
，所以(x1，y+
3
kb)=λ1(
3
b-x1，-y1)．因为
PB
=λ2
BF
，所以(x2，y+
3
kb)=λ2(
3
b-x2，-y2)由此能求出λ1+λ2的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得
2b2
a
=1
a2-b2
a2
=
3
4
.
解得
a=2
b=1.
（2分）
所以所求的椭圆方程为：
x2
4
+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
a2-b2
a2
=
3
4
，得a=2b，c=
3
b．
设直线l方程为：y=k(x-
3
b)，A点坐标为（x1，y1），
B点坐标为（x2，y2），得P点坐标(0，-
3
kb)，F点坐标为(
3
b，0)
因为
PA
=λ1
AF
，所以(x1，y+
3
kb)=λ1(
3
b-x1，-y1)
因为
PB
=λ2
BF
，所以(x2，y+
3
kb)=λ2(
3
b-x2，-y2)．（6分）
得λ1=
x 1
3
b-x1
，λ2=
x 2
3
b-x2
．（7分）
由
x2
4b2
+
y2
b2
=1
y=k(x-
3
b).
（8分）
得(1+4k2)x2-8
3
k2bx+12k2b2-4b2=0．
所以x1+x2=
8
3
k2b
1+4k2
，x1x2=
12k2b2-4b2
1+4k2
．（10分）
λ1+λ2=
x 1
3
b-x1
+
x 2
3
b-x2
=
3
b(x1+x2)-2x1x2
x1x2-
3
b(x1+x2)+3b2

=
24k2b2
1+4k2
-
24k2b2-8b2
1+4k2
12k2b2-4b2
1+4k2
-
24k2b2
1+4k2
+3b2
=-8．（12分）
点评：本题考查圆锥曲线和直线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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