Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n·2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值。

Answer 1

解：（1）∵
∴
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴
∴
即
所以数列{a_n}是以2为公比的等比数列
∵是的等差中项
∴
∴
∴
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）及得
∵
∴  ①
∴ ②
①-②得

要使成立，只需成立
即
使成立的正整数n的最小值为5。