Question

（本小题满分14分）

设函数Z），曲线在点处的切线方程为。

（1）求的解析式；

（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）证明见解析。

（3）证明见解析。

【解析】（1）解，于，

解得，或，因为Z），故。

（2）证明：已知函数都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图象是以原点中心的中心对称图形。而。

可知，函数的图象按向量a =（1,1）平移，即到函数的图象，故函数的图象是以点（1,1）为中心的中心对称图形。

（3）证明：在曲线任取一点，由知，过此点的切线方程为。令，得，切线与直线的交点为；

令，得，切线与直线的交点为；

直线与直线的交点为（1,1），从而所围三角形的面积为

所以