Question

已知f(x)=x²-2x+7,且|x-m|＜3,求证：|f(x)-f(m)|＜6|m|+15.

Answer 1

思路分析：f(x)-f(m)因式分解后，利用绝对值不等式的性质放缩.

证明：|f(x)-f(m)|=|(x-m)·(x+m-2)|

=|x-m|·|x+m-2|＜3|x+m-2|

≤3(|x|+|m|+2).

又|x-m|＜3,∴-3+m＜x＜3+m.

∴3(|x|+|m|+2)＜3(3+|m|+|m|+2)

=6|m|+15.

∴|f(x)-f(m)|＜6|m|+15.