题目内容

已知数列{an}中an=n+1，又数列{bn}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
10
)n-1+(
9
10
)n-2+…+
9
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+1．
（1）求bn的表达式；
（2）若cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n都cn≤ck成立？证明你的结论．
（1）由 nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(
9
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)n-1+(
9
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)n-2+…+
9
10
+1，
得，（n-1）b1+（n-2）b2+…+bn-1=(
9
10
)n-2+…+
9
10
+1两式相减，
得 b1+b2+…+bn=(
9
10
)n-1=Sn
∴当n=1时，b1=S1=1
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=-
1
10
(
9
10
)n-2
即bn=
1… …当n=1时
-
1
10
(
9
10
)n-2…当n≥2时

（2）由（1）得 cn=-anbn=
-2… …当n=1时
n+1
10
(
9
10
)n-2…当n≥2时

设存在自然数k，使对n∈N，cn≤ck恒成立
当n=1时，c2-c1=
23
10
＞0?c2＞c1
当n≥2时，cn+1-cn=(
9
10
)n-2•
8-n
100
，
∴当n＜8时，cn+1＞cn
当n=8时，cn+1=cn，当n＞8时，cn+1＜cn
所以存在正整数k=8或9，使对任意正整数n，均有c1＜c2＜…＜c8=c9＞c10＞c11＞…，
从而存在正整数k8或9，使得对于任意的正整数n都cn≤ck成立
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x
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3
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a
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