Question

（2012•枣庄二模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，侧面均是边长为2的正方形，AA₁⊥底面ABC，D是线段BB₁的中点．
（1）求证：平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C-A₁D-C₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证明DO⊥平面AA₁C₁C，利用面面垂直的判定，可以证明平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面A₁C₁D的法向量

n

=(-

3

，

3

，

2

)，平面A₁CD的一个法向量为

m

=(1，0，0)，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：（1）证明：连接AC₁，设O=AC₁∩A₁C，连接OD
∵底面ABC为正三角形，侧面均是边长为2的正方形
∴DA=DA₁=DC=DC₁=

5

，OA=OA₁=OC=OC₁
∴DO⊥AC₁，DO⊥A₁C
∵AC₁∩A₁C=O
∴DO⊥平面AA₁C₁C，
∵DO?平面A₁CD 
∴平面A₁CD⊥平面AA₁C₁C；
（2）解：以O为坐标原点，OA，OA₁，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则O﹙0，0，0﹚，A₁﹙0，

2

，0﹚，C₁﹙-

2

，0，0﹚D﹙0，0，

3

﹚则

A1C1

=(-

2

，-

2

，0)，

A1D

=(0，-

2

，

3

)
设平面A₁C₁D的法向量为

n

=(x，y，z)，由

n

⊥

A1C1

，

n

⊥

A1D

，可得

- 2 x- 2 y=0 - 2 y+ 3 z=0

，取

n

=(-

3

，

3

，

2

)
又OA⊥平面A₁CD，则平面A₁CD的一个法向量为

m

=(1，0，0)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=-

6

4

∴二面角C-A₁D-C₁的正弦值为

10

4

．

点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确运用向量法解决面面角问题，属于中档题．