Question

（2012•肇庆一模）如果实数x，y满足等式（x-2）²+y²=1，那么

y+3

x-1

的取值范围是

[

4

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：设k=

y+3

x-1

，则y=kx-（k+3）表示经过点P（1，-3）的直线，k为直线的斜率，所以求

y+3

x-1

的取值范围就等价于求同时经过点P（1，-3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，当过P直线与圆相切时，如图所示，直线PA与直线PB与圆相切，此时直线PB斜率不存在，利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线PA的距离d，令d=r求出此时k的值，确定出t的范围，即为所求式子的范围．

解答：解：设k=

y+3

x-1

，则y=kx-（k+3）表示经过点P（1，-3）的直线，k为直线的斜率，
∴求

y+3

x-1

的取值范围就等价于求同时经过点P（1，-3）和圆上的点的直线中斜率的最大最小值，
从图中可知，当过P的直线与圆相切时斜率取最大最小值，此时对应的直线斜率分别为k_PB和k_PA，
其中k_PB不存在，
由圆心C（2，0）到直线y=kx-（k+3）的距离

|2k-(k+3)|

k2+1

=r=1，
解得：k=

4

3

，
则

y+3

x-1

的取值范围是[

4

3

，+∞）．
故答案为：[

4

3

，+∞）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r来判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．