如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E.F分别是AB和BC的中点,试问在棱DD1上能否找到一点M,使BM⊥平面B1EF?若能,试确定点M的位置;若不能,说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图,已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是AB和BC的中点,试问在棱DD₁上能否找到一点M,使BM⊥平面B₁EF?若能,试确定点M的位置;若不能,说明理由.

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解析:我们考虑如果BM⊥平面B₁EF时,点M应该满足使BM⊥B₁E,即其在平面A₁B上的射影BP应该满足BP⊥B₁E,经计算,不难得到点M应为DD₁的中点.

证明:如图,取DD₁的中点M,AA₁的中点P,CC₁的中点Q.

连结MP、MQ、BP、BQ,易证得MP⊥面ABB₁A₁,

∴MP⊥B₁E.

又由平面几何知BP⊥B₁E,

∴B₁E⊥平面MBP.

∴B₁E⊥MB.

同理可得BM⊥B₁F.

又B₁E∩B₁F=B₁,

∴BM⊥平面B₁EF.

点评:证线面垂直常用的方法有:

(1)利用定义,证明直线垂直于平面内的两条相交直线;

(2)运用线面垂直的性质定理:两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.

上述结论“BP⊥B₁E”的证明可以为：Rt△ABP≌Rt△BB₁E,进一步可推得BP⊥B₁E.

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