Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求异面直线CD和PB所成角大小；
（2）求直线CD和平面ABE所成角大小．

Answer 1

分析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
（1）设异面直线CD和PB所成角为α，用向量表示CD和PB，再利用公式可求．
（2）先求平面ABE的法向量，再利用公式求解．

解答：解：由题意，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴．设PA=a，则
P（0，0，a），B（a，0，0），C(

a

2

，

3 a

2

，0)，D(0，

2 3 a

3

，0)，E(

a

4

，

3 a

4

，

a

2

)
（1）设异面直线CD和PB所成角为α

CD

=(-

a

2

，

3 a

6

，0)，

PB

=(a，0，-a)
∴cosα=

6

4

∴异面直线CD和PB所成角为arccos

6

4

（2）设直线CD和平面ABE所成角为β
PA=AB=BC，∠ABC=60°，故PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC，
PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，故CD⊥面PAC，AE⊆面PAC，故CD⊥AE．
从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE．
∵

PD

=(0，

2 3 a

3

，-a)，∴sinβ=

7

7

∴直线CD和平面ABE所成角为arcsin

7

7

．

点评：本题以四棱锥为载体，主要考查线线角，线面角，关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解．