Question

已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）
（2）的单调递增区间为和，单调递减区间为
（3）

试题分析：函数的定义域为，   1分
．    2分
（Ⅰ）当时，函数，，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．                  4分
（Ⅱ）函数的定义域为．   
（i）当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减． 5分
（2）当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；   6分
由，即，得．        7分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为． 8分
（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增．          9分
（Ⅲ））因为存在一个使得，
则，等价于.  10分
令，等价于“当 时，”. 
对求导，得.  11分
因为当时，，所以在上单调递增.   12分
所以，因此.      13分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于基础题。