题目内容
[2012·安徽卷] 如图1－3，长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．
(1)证明：BD⊥EC1；
(2)如果AB＝2，AE＝
，OE⊥EC1，求AA1的长．
图1－3
解：(1)证明：连接AC，A1C1.
由底面是正方形知，BD⊥AC.
因为AA1⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，
所以AA1⊥BD.
又由AA1∩AC＝A，
所以BD⊥平面AA1C1C.
再由EC1⊆平面AA1C1C知，
BD⊥EC1.
(2)设AA1的长为h，连接OC1.
在Rt△OAE中，AE＝，AO＝，
故OE2＝()2＋()2＝4.
在Rt△EA1C1中，A1E＝h－，A1C1＝2.
故EC
＝(h－)2＋(2)2.
在Rt△OCC1中，OC＝，CC1＝h，OC＝h2＋()2.
因为OE⊥EC1，所以OE2＋EC＝OC，即
4＋(h－)2＋(2)2＝h2＋()2，解得h＝3.
所以AA1的长为3.
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