Question

求证：2（sin⁶θ+cos⁶θ）-3(sin⁴θ+cos⁴θ)=-1.

Answer 1

思路分析：证明三角恒等式离不开三角函数的变换，在变换中，要自始至终从式子的结构特征入手，抓差异，促转化，求同一.

本题函数、运算上都有差异：左边是正、余弦的高次多项式，右边是常数项.因此，对左边降次、消元、化繁为简应是解此题的基本途径.

证法一：

左边=2［(sin²θ)³+(cos²θ)³］-3(sin⁴θ+cos⁴θ)

=2(sin²θ+cos²θ)(sin⁴θ-sin²θcos²θ+cos⁴θ)-3(sin⁴θ+cos⁴θ)

=2sin⁴θ-2sin²θcos²θ+2cos⁴θ-3sin⁴θ-3cos⁴θ

=-(sin⁴θ+2sin²θcos²θ+cos⁴θ)

=-(sin²θ+cos²θ)²

=-1

=右边.

证法二：

∵sin²θ+cos²θ=1,

∴(sin²θ+cos²θ)²=sin⁴θ+2sin²θcos²θ+cos⁴θ=1.

∴sin⁴θ+cos⁴θ=1-2sin²θcos²θ.①

又(sin²θ+cos²θ)³=sin⁶θ+3sin⁴θcos²θ+3sin²θcos⁴θ+cos⁶θ=1,

∴sin⁶θ+cos⁶θ=1-3sin²θcos²θ.②

由①②得

左边=2（1-3sin²θcos²θ）-3(1-2sin²θcos²θ)=-1=右边.