Question

已知点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=sin（?x+φ）图象上的任意两点，其中?＞0，-

π

2

＜φ＜0，且角φ的终边经过点P（1，-1），若|f（x₁）-f（x₂）|=2时，|x₁-x₂|的最小值为

π

3

，则f（

π

2

）的值是

-

2

2

．

Answer 1

分析：由任意角的三角函数的定义求得tanφ=-1，故可以取φ=-

π

4

．再根据函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于 

π

3

，故函数的周期为 

2π

3

，由此求得ω 的值，从而求得函数的解析式，即可求得 f（

π

2

）的值．

解答：解：∵角φ的终边经过点P（1，-1），
∴角φ的终边在第四象限，-

π

2

＜φ＜0且tanφ=-1，
故可以取φ=-

π

4

．
点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象上的任意两点，
若|f（x₁）-f（x₂）|=2时，|x₁-x₂|的最小值为

π

3

，
则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于

π

3

，故函数的周期为

2π

3

，
∴

2π

ω

=

2π

3

，解得ω=3．
故函数的解析式为 f（x）=sin（3x-

π

4

），
∴f（

π

2

）=sin（

3π

2

-

π

4

）=sin

5π

4

=-sin

π

4

=-

2

2

，
故答案为：-

2

2

．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．