Question

已知函数f（x）=2+sin2x+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

解：（1）f（x）=2+sin2x+cos2x=，（4分）
∴当，即时，f（x）取得最大值．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是；（8分）
（2），
由题意得，
即．
因此，f（x）的单调增区间是．　…（12分）
分析：（1）利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）的后两项化为一个角的正弦函数，根据正弦函数取得最大值时角度的值列出关于x的方程，求出方程的解即可得到f（x）取得最大值时x范围，并求出此时的最大值；
（2）根据正弦函数的递增区间，列出（1）得到f（x）的解析式中正弦函数的角度的不等式，化简后即可求出x的范围，即为函数f（x）的单调增区间．
点评：此题考查了三角函数的最值，以及正弦函数的单调性．利用三角函数的恒等变换把f（x）化为一个角的正弦函数是解本题的关键．