Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足：

AB

•

AC

=|

AB

-

AC

|=2．
（Ⅰ）求b²+c²的值；
（Ⅱ）求函数f（A）=2sinA（cosA+sinA）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据向量积性质可知bccosA=2，根据|

AB

-

AC

|2=b2+c2-2bccosA，进而求得b²+c²的值．
（Ⅱ）根据b²+c²≥2bc及（Ⅰ）中b²+c²的值可得bc的范围，再根据bccosA=2可得cosA的范围，进而的到A的范围．把函数通过二倍角公式f（A）=2sinA（cosA+sinA）化简得f（A）=

2

sin(2A-

π

4

)+1，进而根据A的范围求得函数f（A）的值域．

解答：解：（Ⅰ）根据题意得bccosA=2，而|

AB

-

AC

|=2
则|

AB

-

AC

|2=4?b2+c2-2bccosA=4?b2+c2=8
（Ⅱ）∵b²+c²=8≥2bc?bc≤4
∴cosA=

2

bc

≥

1

2

?A∈(0，

π

3

]
∵f(A)=2sinA(cosA+sinA)=sin2A+1-cos2A=

2

sin(2A-

π

4

)+1
又2A-

π

4

∈(-

π

4

，

5π

12

]
∴f(A)∈(0，

3

2

+

3

2

]

点评：本题主要考查了向量积和三角函数的单调性、三角函数公式在解三角形中的应用．考查了学生综合运用所学知识解决实际问题的能力．