Question

如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,

为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.

 

(Ⅰ) 证明:平面；

(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得

连结,在中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知,

所以,所以,

理可证, 又,所以平面.

(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,

因为平面,所以,

所以为二面角的平面角.

结合图1可知,为中点,故,从而

所以,所以二面角的平面角的余弦值为.

向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

则,,

所以,

设为平面的法向量,则

,即,解得,令,得

由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,

所以,即二面角的平面角的余弦值为.