Question

已知等比数列{a_n}中，|a₂-a₃|=10，a₁a₂a₃=125

(1)求an (2)若公比为正数，求证 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an ＜1

．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，分类讨论：①当a₂＞a₃时；②当a₂≤a₃时，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
①当a₂＞a₃时，|a₂-a₃|=10，化为a₂-a₃=10，又a₁a₂a₃=125，联立

a1q-a1q2=10 a 3 1 q3=125

，解得

a1=-5 q=-1

．
∴an=-5×(-1)n-1=5×（-1）ⁿ．
②当a₂≤a₃时，|a₂-a₃|=10，化为a₃-a₂=10，又a₁a₂a₃=125，联立

a1q2-a1q=10 a 3 1 q3=125

，解得

a1= 5 3 q=3

．
∴an=a1qn-1=5×3^n-2．
（2）∵公比为正数，∴取an=5×3n-2．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

5

(3+1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-2

)=

1

5

×

3(1- 1 3n )

1- 1 3

=

9

10

(1-

1

3n

)＜

9

10

＜1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．