Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，离心率e=

2

3

，点P为椭圆C上任意一点，F₁、F₂分别为左、右焦点，且△PF₁F₂的周长为10．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若点P的坐标为(2，

5

3

)，判断以PF₁为直径的⊙O₁与以长轴为直径的⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）依题意：

c a = 2 3 2a+2c=10

，由此能求出椭圆C的方程．
（II）两圆内切，理由如下：r1=

1

2

|PF1|=

1

2

16+ 25 9

=

13

6

，|O1O|=

5

6

，圆O的半径r₂=a=3，由|O₁O|=|r₂-r₁|，知两圆内切．

解答：解：（I）依题意：

c a = 2 3 2a+2c=10

，
∴a=3，c=2，b²=5，
∴椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．
（II）两圆内切，理由如下：
由（I）可知F₁（-2，0），
∴O1(0，

5

6

)，
r1=

1

2

|PF1|=

1

2

16+ 25 9

=

13

6

，
|O1O|=

5

6

，
圆O的半径r₂=a=3，
∵|O₁O|=|r₂-r₁|，
∴两圆内切．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．