Question

（2012•临沂一模）已知点M（1，m）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁、l₂，设l₁与抛物线相交于点A、B，l₂与抛物线相交于点D、E．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求

AD

•

EB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据点M（1，m）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，利用抛物线的定义，可求抛物线C的方程；
（2）设出直线l₁的方程，与抛物线的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理将直线l₂的方程与抛物线联立，求出两根之和和两根之积，将数量积进行转化，利用抛物线的定义及基本不等式求最值，即可求得

AD

•

EB

的最小值．

解答：解：（1）∵点M（1，m）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，
∴1+

p

2

=2，∴p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）
由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零，设为k，则l₁的方程为y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直线l₂的斜率为-

1

k

，同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1．

AD

•

EB

= (

AF

+

FD

)•(

EF

+

FB

)=

AF

•

FB

+

FD

•

EF

=|

AF

|•|

FB

|+|

FD

|•|

EF

|
=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₃x₄+x₃+x₄+1
=8+4（k²+

1

k2

）≥8+4×2=16，
当且仅当k²=

1

k2

，即k=±1时，

AD

•

EB

的最小值为16．

点评：本题考查定义法求抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，解题的关键是数量积的等价转化及基本不等式的运用．