Question

曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等．
（Ⅰ）求出曲线C的标准方程；
（Ⅱ） 若直线y=x-2与曲线C交于A，B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义可得曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等的点的轨迹为焦点在x轴上，以F（2，0）为焦点的抛物线，从而可求
（Ⅱ）方法1：联立

y=x-2 y2=8x

得x²-12x+4=0，利用弦长公式|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

可求
（Ⅱ）方法2：同（方法1）联立

y=x-2 y2=8x

得x²-12x+4=0，x₁+x₂=12，根据抛物线焦点弦的弦长公式：|AB|=x₁+x₂+p可求

解答：解：（Ⅰ）∵曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=-2的距离相等，
∴轨迹为焦点在x轴上，以F（2，0）为焦点的抛物线
标准方程为：y²=8x
（Ⅱ）方法1：联立直线y=x-2与抛物线y²=8x
得

y=x-2 y2=8x

得：（x-2）²=8x
∴x²-12x+4=0，x₁+x₂=12，x₁x₂=4
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=144-16=128
∴|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

=16
直线和抛物线相交弦的长为16（12分）
（Ⅱ）方法2：直线y=x-2过抛物线的焦点F（2，0），AB为抛物线的焦点弦
y²=8x，p=4
联立直线y=x-2与抛物线y²=8x

y=x-2 y2=8x

得：（x-2）²=8x
x²-12x+4=0，x₁+x₂=12
AB为抛物线的焦点弦，根据抛物线焦点弦的弦长公式：|AB|=x₁+x₂+p=16
∴直线和抛物线相交弦的长为16

点评：本题主要考查了利用抛物线的定义求解抛物线的方程，解题（I）的关键是灵活应用抛物线的定义，还考查的直线与抛物线的相交求解（焦点）弦长，常见的处理方法是联立方程，根据方程的根满足的关系，利用一般弦长公式|AB|=

(1+k2)(x1-x2)2

或利用焦点弦公式式：|AB|=x₁+x₂+p，法二可以简化运算．