Question

求证：1+2x⁴≥2x³+x².

Answer 1

思路分析：根据所证不等式的两边均为多项式的特点，作差之后转化为完全平方式的形式，便于判断符号.故宜选用作差比较法.

证明：［方法一］

∵（1+2x⁴)-(2x³+x²)=2x³(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x³-x-1)

=(x-1)(2x³-2x+x-1)=(x-1)²(2x²+2x+1)=(x-1)²［2(x+)²+］≥0,

∴1+2x⁴≥2x³+x².

［方法二］

∵（1+2x⁴)-(2x³+x²)

=x⁴-2x³+x²+x⁴-2x²+1

=(x²-x)²+(x²-1)²≥0,

∴1+2x⁴≥2x³+x².

方法归纳

    证法一的变形主要是因式分解，其难点在于分解2x³-x-1的因式，判断2x²+2x+1的符号.除用配方法外，还可用判别式法；证法二的变形主要是配方法，难点在于拆项.通过本例可以了解作差比较法的全貌，以及关键的第二步变形.