Question

函数f（x）=12x+3ax²-2x³在区间[-1，1]上递增，则实数a的取值范围是（　　）

A．[-1，1]

B．（-1，1）

C．[-2，2]

D．（-2，2）

Answer 1

分析：求导函数，可得x²-ax-2≤0在区间[-1，1]上恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可确定实数a的取值范围．

解答：解：求导函数可得：f′（x）=126ax-6x²，，
∵函数f（x）=12x+3ax²-2x³在区间[-1，1]上递增，
∴12+6ax-6x²≥0在区间[-1，1]上恒成立
∴x²-ax-2≤0在区间[-1，1]上恒成立
x=0时，恒成立；
1≥x＞0时，a≥x-

2

x

，∴a≥-1；
-1≤x＜0时，a≤x-

2

x

，∴a≤1；
综上所述，实数a的取值范围是[-1，1]
故选A．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是分离参数求最值，属于中档题．