Question

设P（x，y）是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补
（1）求的值
（2）证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer 1

【答案】分析：（I）设出直线PA，PB的斜率，把A，P点代入抛物线的方程相减后，表示出两直线的斜率，利用其倾斜角互补推断出
k_PA=-k_PB，化简出 即可．
（II）求得三点纵坐标的关系式，同样把把A，B点代入抛物线的方程相减后，表示出AB的斜率，将y₁+y₂=-2y代入求得结果为非零常数．
解答：解：（I）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k _PB
由y₁²=2px₁，y²=2px
相减得（y₁-y）（y₁+y）=2p（x₁-x）
故
同理可得
由PA，PB倾斜角互补知k_PA=-k_PB
即
所以y₁+y2=-2y
故
（II）设直线AB的斜率为k_AB
由y2²=2px₂，y₁²=2px₁
相减得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以
将y₁+y₂=-2y（y＞0）代入得，所以k_AB是非零常数．
点评：本小题主要考查直线的斜率、直线与圆锥曲线的综合问题等基础，考查运算求解能力，考查数形结合思想与转化思想．属于基础题．