题目内容
数列{an}中，已知 a1=1，an+1=an+
，求an．
| n+1 | 2n |
分析：将已知化为an+1-an=
，再用叠加法求通项．
| n+1 |
| 2n |
解答：解：由已知可得：an+1-an=
即 a2-a1=
a3-a2=
…
an-an-1=
（n≥2）
叠加后可得：an-a1=
+
+
+…+
设 S=
+
+
+…+
（1）
则 2S=
+
+
+…+
（2）
（2）-（1）得：S=2+
+
+
+…+
-
=2+
-
=3-
则 an=4-
（n≥2）对n=1时也符合．
故an=4-
（n≥1）
| n+1 |
| 2n |
即 a2-a1=
| 2 |
| 21 |
a3-a2=
| 3 |
| 22 |
…
an-an-1=
| n |
| 2n-1 |
叠加后可得：an-a1=
| 2 |
| 21 |
| 3 |
| 22 |
| 4 |
| 23 |
| n |
| 2n-1 |
设 S=
| 2 |
| 21 |
| 3 |
| 22 |
| 4 |
| 23 |
| n |
| 2n-1 |
则 2S=
| 2 |
| 20 |
| 3 |
| 21 |
| 4 |
| 22 |
| n |
| 2n-2 |
（2）-（1）得：S=2+
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n-2 |
| n |
| 2n-1 |
=2+
| ||||
1-
|
| n |
| 2n-1 |
| n+2 |
| 2n-1 |
则 an=4-
| n+2 |
| 2n-1 |
故an=4-
| n+2 |
| 2n-1 |
点评：本题考查叠加法求通项．凡是形如a n+1-a n=f（n），且{f（n）}能求和，均可用叠加法求通项．
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