Question

已知函数f(x)=(a^x-a^-x),a＞1.

(1)用a表示f(2)、f(3)并化简;

(2)比较f(2)-2与f(1)-1,f(3)-3与f(2)-2的大小关系,并由此归纳出一个更一般的结论(此结论不要求写出证明过程);

(3)比较与,与的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明.

Answer 1

解:(1)f(2)=a+,f(3)=a²++1.                                           

(2)f(2)-2=a+-2＞0=f(1)-1,f(3)-3-［f(2)-2］=＞0,

一般地,f(n+1)-(n+1)＞f(n)-n(n∈N^*).                                         

(3)-=(a+)-1＞0,所以＞.                             

判断＞,证明如下:

＞2(a⁴+a²+1)＞3a(a²+1)

(a²+1)²-a²＞a(a²+1)(a²+1)(a²+1-a)＞a²,(*)

因为a²+1＞2a＞0,a²+1-a＞a＞0,所以(*)式显然成立.所以＞.        

一般地,有＞(n∈N^*).                                        

证明如下:＞nf(n+1)＞(n+1)f(n)

n(a-1)(a²ⁿ⁺¹+1)＞a²ⁿ⁺¹-a

n(a²ⁿ⁺¹+1)＞

(a²ⁿ⁺¹-a^2n-i+1-aⁱ⁺¹)＞0

(a^2n-i+1-1)(a^i-1)＞0,此式显然成立,故＞.