题目内容
数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，点（Sn，an+1）在直线y=2x+1上，n∈N*．（1）若数列{an}是等比数列，求实数t的值；
（2）设bn=nan，在（1）的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足ci•ci+1＜0的整数i的个数称为这个数列{cn}的“积异号数”，令
（n∈N*），在（2）的条件下，求数列{cn}的“积异号数”．
【答案】分析：（1）根据数列的第n项与前n项和的关系可得n≥2时，有
，化简得an+1=3an （n≥2），要使n≥1时{an}是等比数列，只需
，从而得出t的值．
（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，故有
，从而得到
，用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ．
（3）由条件求得
，计算可得c1c2=-1＜0，再由cn+1-cn＞0可得，数列{cn}递增，由
，得当n≥2时，cn＞0，由此求得数列{cn}的“积异号数”为1．
解答：解：（1）由题意可得，当n≥2时，有
，（1分）
两式相减，得 an+1 -an =2an，即an+1=3an （n≥2），（2分）
所以，当n≥2时，{an}是等比数列，要使n≥1时{an}是等比数列，
则只需
，从而得出t=1．（4分）
（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，∴
．（5分）
∴
，（6分）
∴
，①（7分）
上式两边乘以3得
②，（8分）
①-②得
，（9分）
∴
．（10分）
（3）由（2）知
，∵
，
∵
，
，∴c1c2=-1＜0．（11分）
∵
，∴数列{cn}递增．（12分）
由
，得当n≥2时，cn＞0．（13分）
∴数列{cn}的“积异号数”为1．（14分）
点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，数列与函数的综合，属于难题．
，化简得an+1=3an （n≥2），要使n≥1时{an}是等比数列，只需，从而得出t的值．（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，故有
，从而得到，用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ．（3）由条件求得
，计算可得c1c2=-1＜0，再由cn+1-cn＞0可得，数列{cn}递增，由，得当n≥2时，cn＞0，由此求得数列{cn}的“积异号数”为1．解答：解：（1）由题意可得，当n≥2时，有
，（1分）两式相减，得 an+1 -an =2an，即an+1=3an （n≥2），（2分）
所以，当n≥2时，{an}是等比数列，要使n≥1时{an}是等比数列，
则只需
，从而得出t=1．（4分）（2）由（1）得，等比数列{an}的首项为a1=1，公比q=3，∴
．（5分）∴
，（6分）∴
，①（7分）上式两边乘以3得
②，（8分）①-②得
，（9分）∴
．（10分）（3）由（2）知
，∵，∵
，，∴c1c2=-1＜0．（11分）∵
，∴数列{cn}递增．（12分）由
，得当n≥2时，cn＞0．（13分）∴数列{cn}的“积异号数”为1．（14分）
点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，数列与函数的综合，属于难题．
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