Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+?），x∈R（其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

），其部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）=0）的解析式和单调减区间；
（2）若f（x）≥

1

2

，求该不等式的解集．

Answer 1

分析：（1）依题意知A=1，易求T=π，ω=2，由函数f（x）=sin（2x+?）的图象过点（-

π

6

，0），-

π

2

＜φ＜

π

2

，可求得φ，从而可求其解析式，继而可求其单调减区间；
（2）依题意，利用正弦函数的性质可得2kπ+

π

6

≤2x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

，从而可得该不等式的解集．

解答：解：（1）依题意A=1，由

T

2

=

π

3

-（-

π

6

）=

π

2

得T=π，ω=2，
此时函数f（x）=sin（2x+?），
又因为函数图象过点（-

π

6

，0），
则-

π

3

+φ=kπ，（k∈z），即φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈z），
∴函数f（x）=sin（2x+

π

3

）的单调减区间[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，（k∈z）．
（2）依题意知，2kπ+

π

6

≤2x+

π

3

≤2kπ+

5π

6

（k∈z），
解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

（k∈z），
∴不等式的解集为[kπ-

π

12

，kπ+

π

4

]，（k∈z）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．