Question

（1）实数m分别取什么值时，复数z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是①实数，②虚数，③纯虚数；
（2）设z²=8+6i，求z3-16z-

100

z

．

Answer 1

分析：（1）先由复数z的实部等于0，虚部等于0解出m的值，然后根据复数z是实数、虚数、纯虚数的定义得到m的取值；
（2）把要求解的式子通分，然后代入z²的值进行化简，再设出复数z，平方后利用复数相等求出z，最后代入化简过的式子得到结果．

解答：解：（1）由m²-3m-4=0，得：m=-1或m=4．
由m²-5m-6=0，得：m=-1或m=6．
所以①，要使复数z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是实数，则m=-1或m=6；
要使复数z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是虚数，则m≠-1且m≠6；
要使复数z=（m²-3m-4）+（m²-5m-6）i是纯虚数，则m=4．
（2）z3-16z-

100

z

=

z4-16z2-100

z

=

(8+6i)2-16(8+6i)-100

z

=

-200

z

．
设z=a+bi（a，b∈R），由z²=8+6i，得（a+bi）²=a²-b²+2abi=8+6i．
所以

a2-b2=8 2ab=6

，解得

a=3 b=1

或

a=-3 b=-1

．
则z=3+i或z=-3-i．
当z=3+i时，z3-16z-

100

z

=

-200(3-i)

(3+i)(3-i)

=

-200(3-i)

10

=-60+20i．
当z=-3-i时，z3-16z-

100

z

=

-200(-3+i)

(-3-i)(-3+i)

=

-200(-3+i)

10

=60-20i．

点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，考查了学生的计算能力，是中档题．