Question

已知cos(

π

4

-α)=

3

5

，sin(

5π

4

+β)=-

12

13

，α∈(

π

4

，

3π

4

)，β∈(0，

π

4

)则sin（α+β）的值为

 

．

Answer 1

分析：先求出sin（

π

4

-α）和cos（

5π

4

+β）的值，利用-sin（α+β）=sin（π+α+β）=sin[（

5π

4

+β ）-（

π

4

-α ）]，求出sin（α+β）的值．

解答：解：∵cos(

π

4

-α)=

3

5

，sin(

5π

4

+β)=-

12

13

，α∈(

π

4

，

3π

4

)，β∈(0，

π

4

)，
∴-

π

2

＜

π

4

-α＜0，

5π

4

＜

5π

4

+β＜

3π

2

，
∴sin（

π

4

-α ）=-

4

5

，cos（

5π

4

+β ）=-

5

13

，
∴sin[（

5π

4

+β ）-（

π

4

-α ）]=sin（ 

5π

4

+β） cos（

π

4

-α）-cos（

5π

4

+β ） sin（

π

4

-α ）
=（-

12

13

）（

3

5

）-（-

5

13

）（-

4

5

）=-

56

65

=sin（π+α+β）=-sin（α+β），
∴sin（α+β）=

56

65

，
故答案为

56

65

．

点评：本题考查两角和差的正弦公式，以及诱导公式的应用，正确进行角的变换是解题的关键和难点．