Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f(

7

2

)的值是
（　　）

• A、0
• B、

  1

  2

• C、1
• D、

  7

  2

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），我们易得到-

1

2

f（

1

2

）=

1

2

f（-

1

2

），且f（

1

2

）=f（-

1

2

），求出f（

1

2

）值后，进而根据xf（x+1）=（x+1）f（x），求出f（

3

2

），f（

5

2

），f（

7

2

）的值．

解答：解：由xf（x+1）=（1+x）f（x）可得

3

2

f(

5

2

)=

5

2

f(

3

2

)，

1

2

f（

3

2

）=

3

2

f（

1

2

）
-

1

2

f（

1

2

）=

1

2

f（-

1

2

）
又∵f（

1

2

）=f（-

1

2

）
∴f（

1

2

）=0，f（

3

2

）=0，f（

5

2

）=0
∴

5

2

f（

7

2

）=

7

2

f（

5

2

）
故f（

7

2

）=0
故选A

点评：本题主要考查了抽象函数求值问题，以及函数奇偶性的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．