Question

设f（x）为定义在R上的奇函数，右图是函数图形的一部分，当0≤x≤2时，是线段OA；当x＞2时，图象是顶点为P（3，4）的抛物线的一部分．
（1）在图中的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）求函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式；
（3）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）当x∈（-∞，-2）时，y=f（x）的图象时顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分，利用抛物线的顶点式写出其解析式即可．
（2）由题意知，先利用一次函数及二次函数的图象画出y轴右侧的图象，再根据奇函数图象的对称性，得出整个图象．
（3）由（2）中函数图象可知，函数的最大最大值为4，从而得出函数的值域．

解答：解：（1）图象如图所示…（2分）

（2）当x≥2时，设f（x）=a（x-3）²+4…（3分）
∵f（x）的图象过点A（2，2），
∴f（2）=a（2-3）²+4=2，∴a=-2，
∴f（x）=-2（x-3）²+4…（5分）        
设x∈（-∞，-2），则-x＞2，
∴f（-x）=-2（-x-3）²+4．
又因为f（x）在R上为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）=2（-x-3）²-4，
即f（x）=2（x+3）²-4，x∈（-∞，-2）…（8分）
（3）单调减区间为（-∞，-3]和[3，+∞），单调增区间为[-3，3]…（10分）

点评：本题主要考查分段函数及函数的图象、考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．