Question

已知等差数列{a_n}的公差d＜0，若a₃a₇=21，a₁+a₉=10，则使前n项和S_n＞0成立的最大正整数n是（　　）

• A、9
• B、10
• C、18
• D、19

Answer 1

分析：根据等差数列的性质，得到a₁+a₉=a₃+a₇=10，又a₃a₇=21，两者联立即可求出a₃和a₇的值，进而求出数列的首项a₁和公差d的值，由a₁和d写出等差数列的前n项和S_n，令S_n大于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集得到n的取值范围，即可求出解集中的最大正整数n的值．

解答：解：a₃+a₇=a₁+a₉=10，
由

a3+a7=10 a3a7=21 d＜0?a3＞a7

得：

a3=7 a7=3

，
∴d=

a7-a3

4

=-1，a₁=9，
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

-n2+19n

2

，
由Sn=

-n2+19n

2

＞0，解得：n＜19，
∴使S_n＞0成立的最大正整数n是18．
故选C

点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．学生在求a₃和a₇时注意判断a₃和a₇的大小．