题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
平面ABC，
，
，E是BC的中点．
求证：
；
求异面直线AE与
所成的角的大小；
若G为
中点，求二面角
的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）
；（3）
【解析】
分析：（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案；（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角．
详解：
证明：
因为
面ABC，
面ABC，所以
由
，E为BC的中点得到
面
，
解：
取
的中点
，连
，
，
则
，
是异面直线AE与
所成的角
设
，则由
，
可得
，
，
，
在
中，
所以异面直线AE与所成的角为
连接AG，设P是AC的中点，过点P作
于Q，连EP，EQ，则
又平面
平面
平面
而
．
是二面角
的平面角
由
，
，
，得
所以二面角的平面角正切值是
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