Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面ABC，，，E是BC的中点．

求证：；

求异面直线AE与所成的角的大小；

若G为中点，求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

分析：（1）由BB1⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB1，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB1C1C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B1C；（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，根据异面直线夹角定义可得，∠E1A1C是异面直线A与A1C所成的角，设AC=AB=AA1=2，解三角形E1A1C可得答案；（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC1A1，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C﹣AG﹣E的平面角．

详解：

证明：因为面ABC，面ABC，所以

由，E为BC的中点得到

面

，

解：取的中点，连，，

则，

是异面直线AE与所成的角

设，则由，

可得，，

，

在中，

所以异面直线AE与所成的角为

连接AG，设P是AC的中点，过点P作于Q，连EP，EQ，则

又平面平面

平面

而．

是二面角的平面角

由，，，得

所以二面角的平面角正切值是