题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，3），离心率e=
4
5

（1）求椭圆方程；
（2）若直线?：y=kx-3与椭圆交于不同的两点M，N，且满足
MP
=
PN
，
AP
•
MN
=0，求直线?的方程．
分析：（1）由题意，a，b，c的关系有b=3，e=
c
a
 =
4
5
，a2=b2+c2，解得a=5，b=3．
（2）由题意得AP⊥MN，且P是线段MN的中点．设M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0）联立直线与椭圆的方程的（25k2+9）x2-150kx=0．可得P点的坐标进而得直线AP的斜率为kAP=
-25k2-18
25k
，由MN⊥AP，得
-25k2-18
25k
•k=-1，可得k的值，进而求出 的方程．
解答：解：（1）依题意，有
b=3
e=
c
a
=
4
5
a2=b2+c2
，解得
a=5
b=3

∴椭圆方程为
x2
25
+
y2
9
=1．
（2）∵
MP
=
PN
，
AP
•
MN
=0，
∴AP⊥MN，且P是线段MN的中点，
由
y=kx-3
x2
25
+
y2
9
=1
消去y并整理得，（25k2+9）x2-150kx=0．
设M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0）
则x1+x2=
150k
25k2+9
，∴x0=
x1+x2
2
=
75k
25k2+9

∴y0=kx0-3=
-27
25k2+9

即P(
75k
25k2+9
，
-27
25k2+9
)
∵k≠0，∴直线AP的斜率为kAP=
-27
25k2+9
-3
75k
25k2+9
=
-25k2-18
25k

由MN⊥AP，得
-25k2-18
25k
•k=-1，
解得k=±
7
5
（此时满足判别式△＞0）
∴直线?的方程为y=±
7
5
x-3．
点评：求解椭圆方程的关键是熟练掌握椭圆中的相关数值a，b，c之间的关系，求解直线方程的关键是灵活运用平面向量的有关知识，把向量问题转化为代数运算问题，此知识点是高考考查的热点之一．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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