题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （a＞0，a≠1），记函数[f（x）- $数学公式$ ][f（-x）- $数学公式$ ]的值域为D，若元素t∈D，且t∈Z，则t的个数为

A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
无穷多个

A
分析：由已知中f（x）= $\text{[math]}$ ，可得到函数[f（x）- $\text{[math]}$ ][f（-x）- $\text{[math]}$ ]的解析式，结合指数函数的图象和性质，可求出D，进而得到满足条件的t的个数．
解答：∵函数f（x）= $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$
∴f（-x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故f（x）+f（-x）=1
∴[f（x）- $\text{[math]}$ ][f（-x）- $\text{[math]}$ ]=[f（x）- $\text{[math]}$ ][1-f（x）- $\text{[math]}$ ]
=-[f（x）- $\text{[math]}$ ]²=-（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²，
∵a^x＞0，故0＜ $\text{[math]}$ ＜1
故 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ ＜-（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²≤0
即D=（ $\text{[math]}$ ，0]
由元素t∈D，且t∈Z，
故满足t的个数为1个
故选A
点评：本题考查的知识点是函数的值域，指数函数的图象和性质，其中根据书籍求出函数[f（x）- $\text{[math]}$ ][f（-x）- $\text{[math]}$ ]的解析式是解答的关键．

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