Question

已知函数f(x)=

2

sin2x+

2

cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f(

3π

8

)的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅲ）若f(

α

2

-

π

8

)=

3

2

，α是第二象限的角，求sin2α．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将

3π

8

代入已知函数关系式计算即可；
（Ⅱ）利用辅助角公式将f（x）化为f（x）=2sin（2x+

π

4

）即可求f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅲ）由f（

α

2

-

π

8

）=2sinα=

3

2

，可求得sinα，α是第二象限的角，可求得cosα=，利用正弦函数的二倍角公式即可求得sin2α．

解答：解：（Ⅰ）f（

3π

8

）=

2

sin（2×

3π

8

）+

2

cos（2×

3π

8

）=

2

×

2

2

-

2

×

2

2

=0；
（Ⅱ）∵f（x）=2（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）=2（cos

π

4

sin2x+sin

π

4

cos2x）=2sin（2x+

π

4

）．
∴f（x）的最大值为2，最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）=2sin（2x+

π

4

），
∴f（

α

2

-

π

8

）=2sinα=

3

2

，即sinα=

3

4

，又α是第二象限的角，
∴cosα=-

1- 3 16

=-

13

4

，
∴sin2α=2sinαcosα=2×

3

4

×（-

13

4

）=-

39

8

．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查同角三角函数间的基本关系，考查正弦函数的性质及应用，利用辅助角公式求得f（x）=2sin（2x+

π

4

）是关键，属于中档题．，