Question

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）证明：抛物线C在点N处的切线与直线AB平行；
（3）是否存在实数k使

NA

•

NB

=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线方程化为标准方程，即可写出抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）求出N点的坐标，可得切线方程，代入抛物线方程，利用线l与抛物线C相切，可得结论；
（3）假设存在，利用数量积公式及韦达定理计算即可得出结论．

解答：（1）解：将y=2x²化为x2=

1

2

y，则焦点坐标是（0，

1

8

），准线方程是y=-

1

8

…2分
（2）证明：如图，设A（x1，2x12），B（x2，2x22），把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韦达定理得x1+x2=

k

2

，x₁x₂=-1，．…4分
∴xN=xM=

x1+x2

2

=

k

4

，∴N点的坐标为(

k

4

，

k2

8

)．
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-

k2

8

=m(x-

k

4

)，．…5分
将y=2x²代入上式得2x2-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
∵直线l与抛物线C相切，∴△=m2-8(

mk

4

-

k2

8

)=0，∴m=k．
即l∥AB．．…8分
（3）解：假设存在实数k，使

NA

•

NB

=0，则NA⊥NB，
又∵M是AB的中点，∴|MN|=

1

2

|AB|．．…9分
由（1）知yM=

1

2

(y1+y2)=

k2

4

+2．
∵MN⊥x轴，∴|MN|=|y_M-y_N|=

k2+16

8

．．…11分
又|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1

2

k2+1

•

k2+16

．．…13分
∴

k2+16

8

=

1

4

k2+1

•

k2+16

，解得k=±2．
即存在k=±2，使

NA

•

NB

=0．．…14分

点评：本题考查抛物线方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．