Question

已知定义域为R的函数是奇函数.

(1)求a、b的值；

(2)判断并证明f(x)的单调性；

(3)若对任意的x∈R，不等式f(x²-x)+f(2x²-t)<0恒成立，求t的取值范围.

Answer 1

解：(1)∵f(x)是奇函数且0∈R，∴f(0)=0即……………………2分

∴

又由f(1)=-f(-1)知a=2……………………………………………4分

∴f(x)=

(2)f(x)在(-∞,+∞)上为减函数………………………………………………………5分

证明如下：设x₁,x₂∈(-∞,+∞)且x₁<x₂

            ·

∵y=2^x在(-∞,+∞)上为增函数且x₁<x₂，∴

且y=2^x>0恒成立，∴

∴f(x₁)-f(x₁)>0

∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数………………………………………………………10分

(3)∵f(x)是奇函数f(x²-x)+f(2x²-t)<0等价于f(x²-x)<-f(2x²-t)=f(-2x²+t)……12分

又∵f(x)是减函数，∴x²-x>-2x²+t

即一切x∈R，3x²-x-t>0恒成立………………………………………………………14分

∴判别式△=1+12t<0，即t<……………………………………………………16分