题目内容

已知 $数学公式$ =（5 $数学公式$ cosx，cosx）， $数学公式$ =（sinx，2cosx）其中x∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]，设函数f（x）= $数学公式$ • $数学公式$ +| $数学公式$ |²+ $数学公式$
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）=8，求函数f（x- $数学公式$ ）的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（5 $\text{[math]}$ cosx，cosx）， $\text{[math]}$ =（sinx，2cosx）
函数f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |²+ $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ cosx•sinx+2cosx•cosx+sin²x+4cos²x+ $\text{[math]}$ …（2分）
=5 $\text{[math]}$ cosx•sinx+5cos²x+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x+5
=5sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+5 …（5分）
由∵x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1…（7分）
即x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时，函数f（x）的值域为[ $\text{[math]}$ ，10]…（8分）
（2）∵f（x）=5sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+5=8
则sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，…（9分）
又∵ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∴cos（2x+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ …（11分）
∴f（x- $\text{[math]}$ ）=5sin2x+5
=5sin（2x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+5
=5[sin（2x+ $\text{[math]}$ ）cos $\text{[math]}$ -cos（2x+ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$ ]+5
=5（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ）+5
= $\text{[math]}$ +7 …（14分）
分析：（1）由已知中 $\text{[math]}$ =（5 $\text{[math]}$ cosx，cosx）， $\text{[math]}$ =（sinx，2cosx）设函数f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |²+ $\text{[math]}$ ，根据平面向量的数量积公式，我们易求出函数f（x）的解析式，进而根据二倍角公式和辅助角公式，可将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质及其中x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，求出函数f（x）的值域；
（2）根据（1）中函数的解析式，及f（x）=8 我们可以求出2x+ $\text{[math]}$ 的正弦值，进而根据2x+ $\text{[math]}$ 的范围求出其余弦值，进而根据f（x- $\text{[math]}$ ）=5sin2x+5=5sin（2x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+5结合两角差的正弦公式得到答案．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，三角函数的图象和性质，二倍角公式，辅助角公式，是平面向量和三角函数比较综合的应用，其中根据平面向量的数量积公式、二倍角公式和辅助角公式，求出函数f（x）的解析式是解答本题的关键．