题目内容

已知函数 $数学公式$ （其中a为常数，e为自然对数的底数）．
（1）任取两个不等的正数x₁、x₂， $数学公式$ 恒成立，求：a的取值范围；
（2）当a＞0时，求证：f（x）=0没有实数解．

解： $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）令g（x）=ax+ $\text{[math]}$ （x＞0），h（x）= $\text{[math]}$ （x＞0），当a＞0时，f（x）＞ $\text{[math]}$ ，h′（x）= $\text{[math]}$ ，令h′（x）＞0，则x∈（0，e），
故h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，
∴h（x）最大值为：h（e）= $\text{[math]}$ ，
∴x＞0时，g（x）＞h（x）恒成立，即ax+ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
即ax2+ $\text{[math]}$ -lnx＞0恒成立，
∴f（x）=0无解．
分析：（1）先求f'（x）= $\text{[math]}$ ，再由：“ $\text{[math]}$ ”得出“f（x）在（0，+∞）上为单调减函数”转化为“f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立”，最后转化为最值法求解．
（2）令g（x）=ax+ $\text{[math]}$ （x＞0），h（x）= $\text{[math]}$ （x＞0），当a＞0时，f（x）＞ $\text{[math]}$ ，h′（x）= $\text{[math]}$ ，令h′（x）＞0，可得出h（x）在（0，e）上为增函数，（e，+∞）上为减函数，从而得出h（x）最大值，最终得到即ax2+ $\text{[math]}$ -lnx＞0恒成立从而f（x）=0无解．
点评：本题主要考查函数恒成立问题、用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．

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已知函数f（x）=

-1（其中a为常数，x≠a）．利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（Ⅰ）当a=1且x₁=-1时，求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知函数y=f（x）满足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求a的取值范围；
②如果取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求a实数的值．

（2006•石景山区一模）已知函数y=f（x）对于任意θ≠

（k∈Z），都有式子f（a-tanθ）=cotθ-1成立（其中a为常数）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函数y=f（x）构造一个数列，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（ⅰ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（ⅱ）是否存在一个实数a，使得取定义域中的任一值作为x₁，都可用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（ⅲ）当a=1时，若x₁=-1，求数列{x_n}的通项公式．

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已知函数y=f（x）满足f（a-tanθ）=cotθ-1，（其中，a、θ∈R均为常数）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：
对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…
在上述构造过程中，如果x_i（i=1，2，3，…）在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求a的取值范围；
②如果取定义域中的任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求a实数的值．