Question

在正三棱锥S-ABC中，D为AB中点，且SD与BC所成角为45°，则SD与底面所成角的正弦值为

3

3

．

Answer 1

分析：先设出侧棱长为l，正三棱锥的底边长为a，利用异面直线所成角的概念及已知的所成角为45°建立l和a的方程，解出棱长l用a表示，在利用直线与平面所成角的概念可知SD与平面ABC所成的线面角即为∠SDO，然后在三角形SDO中求出此角的正弦值即可．

解答：解：由题意画出图形：由于三棱锥S-ABC为正三棱锥，
设侧棱为l，底面边长为a，因为D是AB的中点，且SD与BC成45°角，
如图取AC的中点E，因为DE∥BC，所以∠SDE=45°，
在直角三角形SDE可以建立 l2-

a2

4

+l2-

a2

4

=

a2

4

⇒l=

3 8

a，
在直角三角形SOD中，OD=

3

6

a，SD=

l2- a2 4

 =

3 8 a2- a2 4

=

1 8

a，SO=

1 24

a，
所以SD与平面ABC所成的线面角即为∠SDO，
所以SD与底面ABC所成角的正弦值为sin ∠SDO=

SO

SD

=

3

3

，
故答案为：

3

3

点评：本题重点考查了异面直线所成角的概念，还考查了直线与平面所成的线面角的概念及解题过程中方程的解题思想，属于中档题，解题的关键就是寻找线面所成角．