Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=2-（2n-1）a_n（n∈N*）
（1）设b_n=（2n+1）S_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）证明：

1

b 2 1

+

1

b 2 1

+…+

1

b 2 n

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）根据2S_n=2-（2n-1）a_n（n∈N*）再结合当n≥2时a_n=s_n-s_n-1可化为（2n+1）s_n=（2n-3）s_n即b_n=b_n-1+2则{b_n}为等差数列再求出b₁利用等差数列的通项公式即可得解．
（2）由于

1

bn2

 ＜

1

bn2-1

=

1

4n2- 1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)故代入化简即可证得结果．

解答：解：（1）∵当n≥2sn=1-

(2n-1)

2

(sn -sn-1)
∴（2n+1）s_n=（2n-3）s_n即b_n=b_n-1+2，，
又∵b1=3×s1=3×

2

3

=2
∴b_n=2+2（n-1）=2n
（2）∵

1

bn2

 ＜

1

bn2-1

∴

1

b12

+…+

1

bn2

＜

1

22- 1

+

1

42-1

+…+

1

2n2-1

=

1

1×3

  +

1

3×5

 +…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

(1- 

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

点评：此题第一问主要考查了利用数列的递推公式求数列的通项公式．此问的关键是利用当n≥2时a_n=s_n-s_n-1这一条件代入递推关系式化简为b_n=b_n-1+2．而第二问的解题关键是对

1

bn2

 ＜

1

bn2-1

=

1

4n2- 1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)的变形!