Question

（2008•武汉模拟）曲线C：y=

1

x

的切线l被坐标轴所截得线段的长的最小值为

3 3

2

．

Answer 1

分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线方程，从而求出切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值．

解答：解：由导数的公式可得y′=-

1

2

x-

3

2

，
则过（ x0，

1

x 0

）点的切线方程为 y-

1

x 0

=-

1

2

x 0-

3

2

(x-x0)，
由此得切线在x轴与y轴上的交点分别为A（ 3x₀，0），B（0，

3

2 x 0

）．
则|AB|²=9

x

2 0

+

9

4x 0

=9x

2 0

+

9

8 x   0

+

9

8x 0

≥3•

3	9 x 2 0 • 9 8x     0 • 9 8x   0

=

27

4

，
∴|AB|≥

3 3

2

，当且仅当

9x

2 0

=

9

8x   0

，等号成立．
故答案为

3 3

2

．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．