Question

已知函数f(x)=2n· -x(x∈[0，+∞))的最小值为a_n(n∈N*)．

　　(1)求a_n；

　　(2)问在点列A_n(2n，a_n)中是否存在三点，使以这三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有的三角形；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)=2n· 　　∵　x∈[0，+∞) 　　∴　化为(4n2-1)x2=1 　　∵　n∈N*，∴　4n2-1>0，∴　x= 　　∴　y=f(x)在上为减函数 　　在上增函数． 　　∴　当x=时 　　f(x)取最小值 　　 　　　 = 　　(2)假设An中任意三点Ap(2p，ap)，Aq(2q，aq) 　　Ar(2r，ar)，p、q、r∈N* 　　则Ap、Aq连线的斜率 　　 　　同理Ap、Ar，连线的斜率k2为正数，Aq、Ar连线的斜率k3为正数．如果△ApAqAr为直角三角形，则k1、k2、k3中必有两个乘积为-1，但k1、k2、k3均为正数，故上述结论不可能．∴　在An(2n，an)中不存在三点，使这三点为顶点的三角形为直角三角形．

提示：

求函数最值的方法比较多，利用导数讨论出函数的单调性，再求最值是其中一个比较重要的方法，第二问的方法不容易想到，但既然是三角形形状问题，一般来说要画图，而画图必须了解点列An的特点，由(2n，)发现An在双曲线x2-y2=1的右支的上半部分上，从而发现任两点连线斜率都为正．