Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-2=(-

1

2

)n-1(n≥3)，且S1=1，S2=-

3

2

，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：由题设条件知S2n=S2-3[(

1

2

)2n-1+(

1

2

)2n-3]+…+(

1

2

)3 ]=-2+(

1

2

)2n-1．S2n+1=S1+3[(

1

2

)2n+(

1

2

)2n-2+…+ (

1

2

)2]=2-(

1

2

)2n．n≥1
所以a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×(

1

2

)2n，n≥1，a2n=S2n-S2n-1=-4+3× (

1

2

)2n-1 ，n≥1．a₁=S₁=1，
由此可知an=

4-3×( 1 2 )n+1，n是奇数 -4+3×( 1 2 )n-1，n为偶数

．

解答：解：先考虑偶数项，有：S2n-S2n-2=3×(-

1

2

)2n-1=-3×(

1

2

)2n-1，
S2n-2-S2n-4=-3×(

1

2

)2n-3，…，S4-S2=-3×(

1

2

)3，
∴S2n=S2-3[(

1

2

)2n-1+(

1

2

)2n-3]+…+(

1

2

)3 ]=-2+(

1

2

)2n-1．
同理考虑奇数项有S2n+1=3×(

1

2

)2n，S2n-1=3×(

1

2

)2n-2，…，S3-S1=3×(

1

2

)2，
∴S2n+1=S1+3[(

1

2

)2n+(

1

2

)2n-2+…+ (

1

2

)2]=2-(

1

2

)2n．n≥1
∴a2n+1=S2n+1-S2n=4-3×(

1

2

)2n，n≥1，a2n=S2n-S2n-1=-4+3× (

1

2

)2n-1 ，n≥1．a₁=S₁=1，
∴an=

4-3×( 1 2 )n+1，n是奇数 -4+3×( 1 2 )n-1，n为偶数

．

点评：本题考查数列的性质，解题时要注意计算能力的培养．