Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明BD⊥AD、BD⊥PD，可得BD⊥平面PAD，再证明PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PAB的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-PB-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=

3

AD
从而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，所以BD⊥PD
因为AD∩PD=D，所以BD⊥平面PAD
因为PA?平面PAD，所以PA⊥BD；
（Ⅱ）解：如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B(0，

3

，0)，C(-1，

3

，0)，P（0，0，1）．
∴

AB

=(-1，

3

，0)，

PB

=(0，

3

，1)，

BC

=（-1，0，0）
设平面PAB的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AB =0 n • PB =0

即

-x+ 3 y=0 3 y-z=0

因此可取n=(

3

，1，

3

)
设平面PBC的法向量为

m

=（x′，y′，z′），则

m • PB =0 m • BC =0

，即

3 y′+z′=0 -x′=0

∴可取

m

=（0，-1，-

3

）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-4

2 7

=-

2 7

7

         
故二面角A-PB-C的余弦值为-

2 7

7

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查空间向量的运用，属于中档题．