Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d=2，则数列{

1

anan+1

}的前n项和为

n

2n+1

．

Answer 1

分析：写出a_n，

1

anan+1

，利用裂项相消法可求得数列{

1

anan+1

}的前n项和．

解答：解：a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
则

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
所以

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

；
故答案为：

n

2n+1

．

点评：本题考查等差数列的通项公式、裂项相消法对数列求和，属中档题．